直積の計算方法

物理学

直積計算は行列計算のひとつです.要素a_{ij}をもつ行列Aと要素b_{ij}をもつ行列Bの直積A\otimes Bは以下のように計算されます.

    \[\begin{split} A\otimes B &= \left( \begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n} \\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots  \\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{array} \right) \otimes \left( \begin{array}{cccc} b_{11}&b_{12}&\cdots&b_{1n} \\ b_{21}&b_{22}&\cdots&b_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\ b_{n1}&b_{n2}&\cdots&b_{nn} \end{array} \right) \\&= \left( \begin{array}{cccc} a_{11}B&a_{12}B&\cdots&a_{1n}B \\ a_{21}B&a_{22}B&\cdots&a_{2n}B\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\ a_{n1}B&a_{n2}B&\cdots&a_{nn}B \end{array} \right) \\&= \left( \begin{array}{cccccc} a_{11}b_{11}&a_{11}b_{12}&\cdots&a_{11}b_{1n}&\cdots&a_{1n}b_{1n} \\ a_{11}b_{21}&a_{11}b_{22}&\cdots&a_{11}b_{2n}&\cdots&a_{1n}b_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&&& \\ a_{11}b_{n1}&a_{11}b_{n2}&&a_{11}b_{nn}&&\vdots \\ \vdots&\vdots&&&\ddots& \\ a_{n1}b_{n1}&a_{n1}b_{n2}&&\cdots&&a_{nn}b_{nn} \end{array} \right) \end{split}\]

例えば,

    \[\begin{split} A\otimes B &= \left( \begin{array}{cc} 3&4 \\ 5&6\\ \end{array} \right) \otimes  \left( \begin{array}{cc} 10&20 \\ 30&40\\ \end{array} \right) \\&= \left( \begin{array}{cccc} 3 \times 10&3 \times 20 &4\times 10&4 \times 20 \\ 3 \times 30&3 \times 40 &4\times 30&4 \times 40 \\ 5 \times 10 & 5 \times 20 &6\times 10&6 \times 20 \\5 \times 30&5 \times 40 &6\times 30&6 \times 40 \end{array} \right) \\&=  \left( \begin{array}{cccc} 30&60&40&80 \\ 90&120&120&160 \\ 50&100&60&120 \\150&200 &180&240 \end{array} \right)\end{split}\]

のように計算します.

直積を使う一例として,物理学におけるスピンの計算があります.この記事はそれを説明するために書いた記事です.

量子アニーリングの説明記事で直積を使うので,実際にどんなことに使われているか気になるひとは,このサイトで近日公開する量子アニーリングの記事を直積を使う一例としてご覧ください。

※他にも,直積を使う場面はたくさんあります.

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